Rozkład Poissona jest koncepcją matematyczną służącą do przekształcania ogólnych średnich w prawdopodobieństwa dla różnych wyników. Przykładowo, Chelsea może zdobyć średnio 1,7 gola na mecz. Jeśli podstawimy to do wzoru na rozkład Poissona okaże się, że Chelsea zdobywa 0 bramek w 18,3% przypadków, 1 bramkę w 31% przypadków, 2 bramki w 26,4% przypadków, a 3 bramki w 15% przypadków.
Jak obliczyć wynik w Piłce Nożnej używając rozkładu Poissona?
Zanim będziemy mogli użyć rozkładu Poissona do obliczenia prawdopodobnego wyniku meczu, musimy obliczyć średnią liczbę bramek, które każda z drużyn może strzelić w meczu. Można to sobie wyobrazić poprzez określenie i porównanie ofensywnej i defensywnej siły obu drużyn.
Przy obliczaniu siły ataku i obrony bardzo ważny jest dobór reprezentatywnego zakresu danych – zbyt dużo wyników i dane nie będą adekwatne do rzeczywistej siły, natomiast zbyt mało wyników doprowadzi do wypaczenia uzyskanych danych. Do tej analizy wykorzystaliśmy mecze od początku sezonu 2016/17.
Obliczanie siły ofensywnej i defensywnej spotkania
Obliczamy średnią liczbę bramek zdobytych u siebie i na wyjeździe. Pierwszym krokiem w obliczaniu siły ataku i obrony na podstawie wyników z poprzedniego sezonu jest określenie średniej liczby bramek zdobytych przez daną drużynę, w meczach u siebie i na wyjeździe.
Oblicza się to dzieląc całkowitą liczbę bramek zdobytych w poprzednim sezonie przez liczbę rozegranych spotkań:
Całkowita liczba bramek strzelonych na wyjeździe (w całym sezonie)/liczba meczów
W sezonie 2015/16 angielskiej Premier League strzelono 567/380 goli u siebie i 459/380 na wyjeździe, co daje średnią 1,492 gola na mecz u siebie i 1,207 gola na mecz na wyjeździe.
- Średnia liczba bramek strzelonych u siebie: 1,492
- Średnia liczba bramek strzelonych na obcych boiskach: 1,207
- Różnica w stosunku do powyższej średniej daje nam „siłę ataku”.
Oprócz tego będziemy potrzebować średniej liczby bramek, jakie zdobywa przeciętny zespół Premier League. Możemy uzyskać tę wartość po prostu odwracając powyższe wyniki.
- Średnia liczba bramek zdobytych przez drużynę u siebie: 1,207
- Średnia liczba bramek zdobytych przez drużynę na własnym boisku: 1,492
Teraz możemy użyć liczb uzyskanych powyżej, aby obliczyć siłę ataku i obrony Evertonu i Tottenhamu na mecz, który został zaplanowany w przyszłości.
Przewidywany wynik Tottenhamu
Kalkulacja siły ataku Tottenhamu Hotspur:
- Krok 1: Weźmy liczbę bramek strzelonych w zeszłym sezonie u siebie (Tottenham: 35) i podzielmy ją przez liczbę meczów rozegranych u siebie (35/19): 1,842.
- Krok 2: Podziel tę liczbę przez średnią liczbę bramek zdobytych na mecz u siebie w sezonie (1.842/1.492). Wynikiem jest „siła ataku” wynosząca 1,235.
(35÷19) ÷ (567÷380) = 1,235
Obliczanie siły defensywy Evertonu
- Krok 1: Weźmy liczbę bramek strzelonych przez drużynę grającą na obcym terenie w poprzednim sezonie (Everton: 25) i podzielmy ją przez liczbę spotkań rozegranych na obcym terenie (25/19): 1,315.
- Krok 2: Podziel tę liczbę przez średnią liczbę bramek zdobytych przez drużyny grające na obcych boiskach w każdym meczu w sezonie (1,315/1,492). Wynikiem jest „siła defensywna” wynosząca 0,881 (25÷19) ÷ (567÷380) = 0,881
Teraz możemy użyć następującego wzoru, aby obliczyć prawdopodobną liczbę bramek strzelonych przez drużynę gospodarzy:
Bramki strzelone przez Tottenham Hotspurs = siła ataku Tottenhamu × siła obrony Evertonu × średnia liczba bramek.
W tym przypadku jest to 1,235 × 0,881 × 1,492 = 1,623, co oznacza, że Tottenham strzela 1,683 bramki.
Przewidywany wynik Evertonu
- Obliczenie siły ataku Evertonu: (24÷19) ÷ (459÷380) = 1,046
- Obliczenie siły defensywnej Tottenhamu: (15÷19) ÷ (459÷380) = 0,653
Teraz możemy użyć następującego wzoru, aby obliczyć liczbę bramek, które może zdobyć drużyna gości:
Daje nam to wynik obliczeniowy 1,046 × 0,653 × 1,207 = 0,824.
Rozkład Poissona w zakładach sportowych – przewidywanie wyniku meczu
Oczywiście, żaden mecz nie zakończy się wynikiem 1,623 do 0,824 – to po prostu średnia. Rozkład Poissona, wzór stworzony przez francuskiego matematyka Simeona Denisa Poissona, pozwala na wykorzystanie tych danych do obliczenia prawdopodobieństwa w różnych grach. Możliwości są wymienione w poniższej tabeli:
Sama formuła wygląda następująco: P(x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
Jednak, aby nie dać się wciągnąć w wir obliczeń można skorzystać z narzędzia online (Kalkulator Poissona) przeznaczonego właśnie do obliczania równania Poissona. Poniżej możesz ściągnąć to narzędzie i dowiedzieć się czym jest.
Wszystko, co musisz zrobić, to wpisać różne wyniki bramek (0-5) w kategorii zmienna losowa (x) oraz prawdopodobieństwo zdobycia bramki przez daną drużynę (np. Tottenham 1,623) w kategorii średnia skuteczność, a kalkulator zajmie się wszystkim.
Rozkład Poissona dla meczu Manchester United vs. Swansea City
Ten przykład pokazuje, że istnieje 19.73% szans na to, że Tottenham nie strzeli żadnej bramki, 32.02% szans na to, że Tottenham strzeli jedną bramkę oraz 25.99% szans na to, że ta drużyna strzeli dwie bramki. Z kolei Everton ma 43,86% szans na zdobycie zera bramek, 36,14% szans na zdobycie jednej bramki i 14,89% szans na zdobycie dwóch bramek. Czy liczysz na to, że któraś z drużyn strzeli pięć bramek? Masz 1,85% szans z Tottenhamem i 0,14% szans z Evertonem.
Ponieważ oba wyniki są (matematycznie rzecz biorąc) niezależne, można zauważyć, że oczekiwany wynik to 1-0. Jeśli pomnożymy te dwa prawdopodobieństwa, otrzymamy prawdopodobieństwo wyniku 1-0 – 0,1404 lub 14,04%.
Teraz, gdy już wiesz jak obliczyć prawdopodobieństwo wyniku, możesz porównać swoje wyniki z kursami u bukmachera i zobaczyć czy znajdziesz różnice, które możesz wykorzystać.
Przykład: obstawienie remisu w Piłce Nożnej
Powyższy przykład pokazał nam, że zgodnie z naszym modelem, prawdopodobieństwo wystąpienia remisu 1:1 wynosi 11,53%. Ale co jeśli postawimy na „remis”, a nie na konkretny wynik? W takim przypadku powinieneś obliczyć prawdopodobieństwo wszystkich różnych losowań – tzn. 0 – 0, 1 – 1, 2 – 2, 3 – 3, 4 – 4, 5 – 5, itd.
Robi się to po prostu poprzez obliczenie prawdopodobieństwa wszystkich możliwych kombinacji remisów i złożenie ich razem. To da Ci prawdopodobieństwa (a tym samym kursy) na remis, niezależnie od wyniku.
Oczywiście istnieje nieskończona liczba możliwości remisu (np. obie drużyny mogą strzelić 10 goli w meczu), ale szanse na remis większy niż 5-5 są tak małe, że można je bezpiecznie pominąć w modelu.
W meczu United – Swansea szansa na remis wynosiłaby 0,266 lub 26,6%. Gdybyś otrzymał kurs 5.530 na tę okazję, na przykład, otrzymałbyś prawdopodobieństwo implikowane 18.08%.
Oznacza to, że gdyby forma z poprzedniego sezonu idealnie wskazywała na wyniki w bieżącym sezonie, a ponadto kursy byłyby naprawdę tak wysokie, zakład bardzo by się opłacił. Niestety, określenie wartości zakładu nie zawsze jest tak proste, jak mogłoby się wydawać. Analiza Poissona ma również swoje ograniczenia. O tym w dalszej części artykułu.
Kalkulator rozkładu Poissona
Kalkulator Poissona może być użyty do pomiaru prawdopodobieństwa wystąpienia różnych zdarzeń w pewnym przedziale czasu (np. liczby goli strzelonych w meczu piłki nożnej).
Załóżmy, że spodziewamy się, że Manchester City strzeli 2 gole w swoim następnym meczu. Używając rozkładu Poissona możemy łatwo obliczyć prawdopodobieństwo, że Man City (Goście) strzeli 1 bramkę (13,5%), 2 bramki (14,2%) lub 3 bramki (10%). Ponadto jeśli wiemy, że ich przeciwnik (powiedzmy Man Utd) powinien strzelić w tym meczu 0 bramek, możemy obliczyć prawdopodobieństwo zwycięstwa Man City, remisu oraz zwycięstwa Man Utd.
Jak widzisz, możemy podzielić powyższe zadanie na trzy części:
- Oblicz oczekiwaną liczbę bramek (xG), które zdobędą Man City i Man Utd.
- Na podstawie (1) oblicz prawdopodobieństwo, że obie drużyny strzelą 1, 2, 3 lub nawet więcej goli.
- Znając oczekiwaną liczbę bramek, które zdobędą obie drużyny, oblicz prawdopodobieństwo zwycięstwa Man City, remisu i zwycięstwa Man Utd.
Za pomocą kalkulatora Poissona możemy obliczyć nie tylko to, ale także ocenić prawdopodobieństwo wystąpienia gola na podstawie statystyk dostępnych w sieci.
Możemy także przeliczyć otrzymane wyniki na kursy i porównać je z kursami u bukmacherów.
Pobierz Kalkulator Poissona w Excellu
Powyższe zdjęcia pochodzą z kalkulatora Poissona, który możesz sobie pobrać za darmo z linku poniżej. Jest on przygotowany w programie MS Excel. Aby go otworzyć potrzebujesz zatem pakietu MS Office zainstalowanego na swoim komputerze.
Kliknij i pobierz kalkulator Poissona
Minusy rozkładu Poissona
Rozkład Poissona jest prostym modelem prognozowania, który nie bierze pod uwagę wielu ważnych czynników. Nie bierze pod uwagę czynników sytuacyjnych – takich jak wiadomości z klubu, pozycja na boisku itp. oraz subiektywnej analizy każdego zespołu podczas okienka transferowego.
W tym przypadku fakt, że Manchester United przystępował do meczu z nowym menedżerem Louisem Van Gaalem, zostałby przeoczony, co byłoby błędem w ogólnym rozrachunku.
Pomija również różne inne wpływy, takie jak wpływ boiska, które może znacząco wpłynąć na liczbę zdobytych bramek.
Szczególnie mecze w niższych ligach dają bukmacherom przewagę nad graczami. W głównych ligach naprawdę trudno jest uzyskać taką przewagę. Dzieje się tak dlatego, że bukmacherzy zatrudniają osoby o specjalistycznej wiedzy. Jeśli chcesz je wyprzedzić, zalecamy zdobycie dodatkowej wiedzy oprócz analizy Poissona.